Der harmonische Oszillator

  

  Eine Metallkugel hänge an einem langen Faden und schwinge
  horizontal in der Mitte einer Spiralfeder. In jedem Punkt
  der Schwingungsbahn ist die Summe aus Federspannenergie und
  kinetischer Energie konstant (Reibungsverluste gleich Null).
  Als Formel sieht das wie folgt aus:

  (1) 1/2 * D * x²  +  1/2 * m * v²  =  Eges

  Dabei ist D die Federkonstante, x die Elongation um die Ruhelage,
  m die Masse der Kugel, v ihre Geschwindigkeit und E die Energie.
  Als Differenzialgleichung sieht (1) wie (2) aus:
                                    .
  (2) 1/2 * D * x²  +  1/2 * m * x²  =  Eges ,

  wobei der Punkt über dem x in der Physik als Ableitung
  nach der Zeit gilt.

  Als Lösungsansatz der ungedämpften Schwingung wählt man

  (3) x = A * sin(ω*t) =>
           .
  (4) x = A * ω * cos(ω*t)

  Setzen wir (3) und (4) in (2) ein, ergibt sich

  (5) 1/2 * D * A² * sin²(ω*t) + 1/2 * m * A² * ω² * cos²(ω*t) = Eges

  Die Faktoren vor sin²(ω*t) und cos²(ω*t) müssen gleich
  sein, damit die Summe konstant wird. Man erinnere sich an
  sin²(x) + cos²(x) = 1.
              ___                                ___
  => (6) ω = √D/m   =>  (7) Lösung: y = A * sin(√D/m*t)

  Als Lösung der gedämpften Schwingung kennt man
                    -k*t             _____    
  y = A * e  * sin(√D/m*t).